a乘以a的转置什么情况下等于e

如果矩阵 \\（ A \\） 乘以它的转置等于单位矩阵 \\（ E \\），即 \\（ A \\times A^T = E \\），则矩阵 \\（ A \\） 是可逆的，并且它的逆矩阵是 \\（ A^T \\）。这是因为：

1. 从 \\（ A \\times A^T = E \\） 可以得出 \\（ A \\times A^T - E = O \\），其中 \\（ O \\） 是零矩阵。

2. 将等式重写为 \\（ A \\times A^T - A \\times A^T = O \\），即 \\（ A \\times （A^T - E） = O \\）。

3. 如果 \\（ A \\） 是可逆的，那么我们可以两边同时左乘 \\（ A^{-1} \\），得到 \\（ A^T - E = O \\）。

4. 进一步得到 \\（ A^T = E \\）。

5. 同理，如果 \\（ A^T \\） 是可逆的，那么 \\（ A = E \\）。

由于 \\（ A \\） 和 \\（ A^T \\） 都是可逆的，并且互为逆矩阵，这表明 \\（ A \\） 是一个正交矩阵。正交矩阵的一个重要性质是它的行列式为 1 或 -1。

需要注意的是，如果 \\（ A \\） 的行列式小于 0，则 \\（ A \\） 不是正交矩阵，因为正交矩阵的行列式必须是 1 或 -1。

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